การหาค่าความผิดพลาดด้วย Markov Model (ตอนที่ 1)
ทวิช ชูเมือง

     ในการออกแบบระบบนิรภัยหรือระบบ SIS (Safety Instrumented System) เพื่อนำไปใช้สำหรับป้องกันความเสียหายที่อาจจะเกิดขึ้นในอุตสาหกรรมกระบวนการผลิตประเภทต่าง ๆ ซึ่งความเสียหายเหล่านี้จะรวมไปถึงความเสียหายต่อสิ่งมีชีวิต, ต่อสิ่งแวดล้อมและความเสียหายต่ออุปกรณ์หรือผลิตภัณฑ์ที่จะได้จากกระบวนการผลิต ในอดีตที่ผ่านมา

การออกแบบส่วนใหญ่แล้วผู้ชำนาญพิเศษในระบบควบคุมและเครื่องมือวัดทางอุตสาหกรรม (Control and Instrumentation) จะมีความเชื่อมั่นอยู่บนประสบการณ์ของตนเองและข้อปฏิบัติที่ดีในการออกแบบระบบป้องกันหรือระบบนิรภัย

แต่ในปัจจุบันการออกแบบระบบนิรภัยกับอุตสาหกรรมกระบวนการผลิตต่าง ๆ ได้มีความต้องการถูกกำหนดขึ้นในมาตรฐานสากลที่สามารถทำได้โดยการคำนวณเกี่ยวกับปริมาณหรือจำนวนตัวเลขเพื่อใช้ยืนยันว่าระบบนิรภัยที่ทำการออกแบบนั้นมีความเหมาะสมกับความต้องการ ระบบนิรภัยที่มีใช้ในอุตสาหกรรม ดังตัวอย่าง อาทิเช่น ระบบบริหารการเผาไหม้หรือระบบ BMS (Burner Management System) มีคุณสมบัติที่ดีในฟังก์ชันการป้องกันความเสียหายด้วยตัวเอง

ระบบ SIS (Safety Instrumented System) หรือระบบนิรภัยที่ใช้ระบบไฟฟ้าและเครื่องมือวัดทางอุตสาหกรรมเป็นส่วนประกอบ ควรจะต้องถูกออกแบบให้เป็นไปตามมาตรฐานสากล เช่น IEC 61508/61511, SP 84.01 หรือ NFPA

     ขั้นตอนหนึ่งของการออกแบบระบบนิรภัยตามมาตรฐานดังกล่าวข้างต้นได้กำหนดให้จัดเตรียมการคำนวณเป้าหมายค่าความเป็นไปได้ของความผิดพลาดอันตรายหรือค่า PFD (Probability of Failure on Demand) ของระบบนิรภัยที่ทำการออกแบบ เพื่อยืนยันการออกแบบว่าเป็นไปตามมาตรฐานกำหนดหรือให้มีสมรรถนะในการลดความเสี่ยงอันตรายให้อยู่ในค่าที่ยอมรับได้ ในการใช้งานอุปกรณ์ต่าง ๆ ในอุตสาหกรรมกระบวนการผลิตนั้น เป็นที่ทราบกันดีว่าอุปกรณ์ไฟฟ้าและเครื่องมือวัดทางอุตสาหกรรมส่วนใหญ่ที่ถูกใช้ในระบบการควบคุมต่าง ๆ รวมไปถึงระบบนิรภัยจะเป็นอุปกรณ์ที่สามารถถูกแบ่งเป็นประเภทใหญ่ ๆ ได้ 2 ประเภทดังนี้

- แบบซ่อมแซมให้กลับมาใช้งานได้อีกครั้ง (Repairable Device) 
- แบบซ่อมแซมไม่ได้ ต้องเปลี่ยนใหม่เมื่อเกิดการชำรุดเสียหาย (Non-repairable Device)

     ดังนั้นเมื่อเลือกใช้งานอุปกรณ์ประเภทใดในการคำนวณค่า PFD จึงต้องถูกจัดเตรียมให้มีความเหมาะสมตามประเภทของอุปกรณ์ที่นำไปใช้งาน เนื่องจากการคำนวณค่า PFD สำหรับระบบที่สามารถซ่อมแซมได้ โดยทั่วไปจะมีความรู้สึกว่ามีความซับซ้อนมากกว่าระบบที่ซ่อมแซมไม่ได้และส่วนใหญ่แล้วการคำนวณต่าง ๆ ของอุปกรณ์เหล่านี้ ก็ไม่ได้ถูกดำเนินการด้วยผู้ชำนาญพิเศษในระบบควบคุมและเครื่องมือวัดทางอุตสาหกรรมโดยตรง

มีผู้ผลิตอุปกรณ์บางส่วนอนุโลมให้การวิเคราะห์การออกแบบเป็นหน้าที่ของผู้อื่น หรือไม่ได้ทำการวิเคราะห์ผลิตภัณฑ์ทั้งหมด แต่การให้ผู้อื่นหรือองค์กรอิสระ (Third Party) ในการจัดเตรียมการคำนวณเหล่านี้ก็จะเป็นข้อดีอีกอย่างหนึ่งในการออกแบบระบบนิรภัยเนื่องจากสามารถเพิ่มเติมความต้องการที่ถูกต้องตามข้อกำหนดของมาตรฐานสำหรับระบบ SIS เข้าไปในการจัดเตรียมดังกล่าว

     เนื่องจากระบบนิรภัยจะประกอบด้วยฟังก์ชันนิรภัยหลาย ๆ ฟังก์ชันตามความต้องการของกระบวนการผลิตและในแต่ละฟังก์ชันนิรภัยก็จะประกอบไปด้วยส่วนที่สำคัญ 3 ส่วนดังนี้
1) Sensor
2) Logic Solver
3) Final Element

     ในการออกแบบระบบนิรภัยตามความเป็นจริงแล้วผู้ชำนาญพิเศษในระบบควบคุมและเครื่องมือวัดทางอุตสาหกรรมอาจจะไม่ได้เข้าไปเกี่ยวข้องโดยตรงในการออกแบบส่วนประกอบต่าง ๆ ของระบบ SIS แต่จะมีความเกี่ยวข้องกับการกำหนดรายละเอียดความต้องทางด้านนิรภัยหรือ SRS (Safety Requirement Specification) ที่จะประกอบไปด้วยการกำหนดค่า PFD เป้าหมายสำหรับส่วนประมวลผลของระบบ SIS รวมไปถึงการกำหนดระบบสำรอง (Redundant) ของเครื่องมือวัดที่จะนำไปใช้ในฟังก์ชันนิรภัย หรือแม้กระทั่งการเลือกประเภทของเครื่องมือวัดในการนำไปใช้ในฟังก์ชันนิรภัย

     ในกรณีตัวอย่างเป็นฟังก์ชันนิรภัยการป้องกันระดับน้ำในหม้อไอน้ำมีค่าต่ำกว่าที่กำหนด ในกรณีนี้เมื่อเครื่องมือวัดระดับน้ำในหม้อไอน้ำ (Boiler) เกิดปรากฏค่าที่วัดระดับได้ต่ำถึงจุดที่ไม่ปลอดภัยแล้ว ระบบ BMS ต้องการหยุดระบบจ่ายเชื้อเพลิงให้กับหัวเผาในการป้องกันเครื่องกำเนิดไอน้ำเกิดความเสียหาย ถ้าเครื่องมือวัดระดับไม่ทำงานในสภาวะที่ระดับน้ำต่ำเกิดขึ้น จะเป็นสาเหตุทำให้ระบบจ่ายเชื้อเพลิงไม่หยุดทำงานและถ้าไม่มีการตอบสนองจากผู้ปฏิบัติการก็จะทำให้เกิดความเสียหายขึ้นได้

เวลากลางก่อนความผิดพลาด (Mean Time before Failure)

  ในการคำนวณหาค่า PFD จะต้องมีการหาค่าอัตราความผิดพลาด (Failure Rate) ของเครื่องมือวัดมาใช้ในการคำนวณ ในอดีตที่ผ่านมา อาจจะเป็นเรื่องยากในการที่จะหาอัตราความผิดพลาดของเครื่องมือวัดทางอุตสาหกรรมประเภทต่าง ๆ เมื่อเครื่องมือวัดทางอุตสาหกรรมถูกใช้งานกันอย่างกว้างขวางกับระบบควบคุมพื้นฐานและระบบนิรภัยในอุตสาหกรรมกระบวนการผลิต

 ทำให้ในปัจจุบันความต้องการในการหาค่าอัตราความผิดพลาดสามารถทำได้อย่างรวดเร็วจากประสบการณ์การใช้งานอุปกรณ์เหล่านั้น ว่านานเพียงใดที่เครื่องมือวัดยังคงทำงานเป็นปกติก่อนจะเกิดความผิดพลาด

   ดังตัวอย่างเช่น ถ้ามีเครื่องมือวัดระดับ (Level Transmitters) จำนวน 1,000 ตัว ถูกใช้งานและมีจำนวน 50 ตัว เกิดความผิดพลาดในเวลาที่แสดงไว้ สามารถพูดได้ว่าจะมีโอกาส 1 ใน 20 ของเครื่องมือวัดระดับจะเกิดความผิดพลาดในเวลาที่แสดงหรือเวลากลางระหว่างความผิดพลาด หรือ MTBF (Mean Time Between Failure) เป็น 20 ปี ซึ่งในการหาอัตราความผิดพลาดไม่จำเป็นต้องรอจนถึงเวลา 20 ปีหรือยาวนานกว่านั้น ในการหาค่า MTBF เมื่อมีการใช้งานเครื่องมือวัดอย่างกว้างขวางจึงสามารถจัดเตรียมสถิติความผิดพลาดที่ต้องการได้ง่าย แต่ความผิดพลาดของเครื่องมือวัดที่ถูกเลือกใช้งานสามารถจะเกิดความผิดพลาดในการใช้งานได้ตั้งแต่ครั้งแรก แต่จากค่าเฉลี่ยจะเกิดความผิดพลาดขึ้น 1 ครั้งใน 20 ปี

 
เวลากลางในการซ่อมแซม (Mean Time to Repair)

    จากที่ได้กล่าวไปแล้วในตอนต้นว่าเครื่องมือวัดจะมี 2 ประเภท ในการใช้งานจะเห็นได้ว่าเครื่องมือวัดทางอุตสาหกรรมส่วนใหญ่จะเป็นประเภทที่สามารถซ่อมแซมให้กลับมาใช้งานได้ในเวลาที่กำหนด เมื่อเครื่องมือวัดเกิดความผิดพลาดก็สามารถถอดเปลี่ยนหรือซ่อมแซมได้ แต่ในการออกแบบระบบนิรภัยจะต้องจัดเตรียมระบบวิเคราะห์ความผิดพลาดและระบบแสดงผลหรือสัญญาณเตือนที่ถูกต้องแม่นยำว่ามีความผิดพลาดเกิดขึ้นบนตัวอุปกรณ์

ก่อนที่จะดำเนินการแจ้งไปยังช่างเทคนิคเข้าไปถอดเปลี่ยนหรือซ่อมแซมภายในเวลาที่กำหนด โดยทั่วไปแล้วระบบวิเคราะห์ความผิดพลาดจะทำการเปรียบเทียบค่าการวัดที่ได้จากเครื่องมือวัดหลักกับเครื่องมือวัดสำรองอย่างต่อเนื่อง

เพื่อตรวจสอบความผิดพลาดที่อาจจะเกิดขึ้นอยู่ตลอดเวลา เพราะช่วงระยะเวลาที่เกิดความผิดพลาดขึ้นจนถึงระบบแจ้งสัญญาณเตือนไปยังผู้ควบคุมกระบวนการผลิตและดำเนินการแจ้งไปยังส่วนที่เกี่ยวข้อง จนกว่าจะทำการเปลี่ยนเครื่องมือวัดให้กลับมาใช้งานได้ตามปกติ ในช่วงเวลานั้นกระบวนการผลิตที่พิจารณาจะไม่มีระบบการป้องกันความเสียหายอันเนื่องมาจากตัวแปรกระบวนการเบี่ยงเบนไปจากค่าที่กำหนด ซึ่งเหตุการณ์อันตรายจะสามารถเกิดขึ้นได้ทุกเวลาในระหว่างที่เกิดความผิดพลาดขึ้นในเครื่องมือวัด

    เวลาในการซ่อมแซมให้อุปกรณ์กลับมาใช้งานได้อีกครั้งจะมีผลกระทบอย่างมากในการคำนวณความพร้อมใช้งาน (Availability) ของฟังก์ชันหยุดการทำงานจากตัวแปรที่เบี่ยงเบนไป นอกจากนั้นเวลาในการซ่อมแซมจะยังขึ้นอยู่กับวิธีการซ่อมบำรุงที่โรงงานนั้น ๆ ในการคำนวณจะสมมุติฐานว่ามีช่างเทคนิคพร้อมที่จะเปลี่ยนเครื่องมือวัดในเวลาที่กำหนดตลอดเวลา

 
ค่าความเป็นไปได้ของความผิดพลาดอันตรายหรือค่า PFD (Probability of Failure on Demand)

     จากตัวอย่างที่ผ่านมาจะกำหนดให้เครื่องมือวัดที่ใช้งานในช่วงเวลา 20 ปี จะมีช่วงเวลาหนึ่งที่เครื่องมือวัดจะไม่พร้อมใช้งานในการวัดค่าตัวแปรกระบวนการผลิต ซึ่งจะมีค่าเท่ากับเวลาที่ใช้ในการซ่อมแซม ถ้ากำหนดให้เวลาในการซ่อมแซมเครื่องมือวัดกลับมาใช้งานได้ตามปกติมีค่าเท่ากับ 4 ชั่วโมง ดังนั้นค่าความน่าจะเป็นที่ไม่สามารถทำการวัดค่าได้จะเป็น 4/(20 x 8760) หรือ 2.28E-5 ครั้งต่อปี

     เนื่องจากฟังก์ชันนิรภัยไม่ได้ประกอบด้วยเครื่องมือวัดทางอุตสาหกรรมเพียงส่วนเดียว ดังนั้นค่าความเชื่อมั่นของระบบนิรภัยสำหรับการทำงานในเวลาที่ต้องการจะไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่า PFD ของเครื่องมือวัดเพียงอย่างเดียวด้วย เนื่องจากระบบนิรภัยจะประกอบด้วยฟังก์ชันนิรภัยต่าง ๆ และแต่ละฟังก์ชันก็จะมีส่วนประกอบที่สำคัญอยู่ 3 ส่วนดังกล่าวข้างต้น ดังนั้นความเชื่อมั่นของระบบนิรภัยก็จะขึ้นอยู่กับค่า PFD ของส่วนประมวลผลและอุปกรณ์สุดท้ายด้วย ค่า PFD เฉพาะของแต่ละส่วนจะต่อกันในรูปแบบอนุกรมดังแสดงในรูปที่ 1
    

รูปที่ 1 การทำงานของฟังก์ชันนิรภัย

     
     แต่ถ้าเขียนการทำงานของฟังก์ชันนิรภัยในรูปแบบ Fault Tree Diagram จะเป็นดังแสดงในรูปที่ 2

รูปที่ 2 การทำงานของฟังก์ชันนิรภัยในรูปแบบ Fault Tree Diagram

     
     จากการทำงานตามรูปที่ 1 และ 2 จะได้ค่า PFD ของฟังก์ชันนิรภัยเป็นการรวมค่า PFD ของแต่ละส่วนเข้าด้วยกันดังสมการดังนี้

         ในการคำนวณค่า PFD อาจมีความสงสัยว่าทำไมเมื่อต้องการค่า PFD ต่ำ ๆ ต้องมีการจัดเตรียมเครื่องมือวัดสำรองในฟังก์ชันนิรภัย สำหรับการคำนวณจะสมมุติฐานว่าความผิดพลาดที่เกิดขึ้นบนตัวเครื่องมือวัดจะถูกแสดงขึ้นโดยระบบวิเคราะห์ความผิดพลาดอย่างทันทีทันใดที่เกิดความผิดพลาดขึ้น ซึ่งจากผลลัพธ์ที่ต้องการดังกล่าวจะเป็นไปไม่ได้เลย ถ้าไม่มีการเปรียบเทียบค่าที่อ่านได้จากเครื่องมือวัดตัวที่หนึ่ง กับเครื่องมือวัดตัวที่สองหรือตัวที่สามในระบบวิเคราะห์หรือตรวจจับความผิดพลาด

Markov Model

     เป็นที่ทราบกันดีว่าการคำนวณค่า PFD ของอุปกรณ์ตัวเดียวในฟังก์ชันนิรภัยสามารถทำได้ง่าย ในปัจจุบันฟังก์ชันนิรภัยที่มีใช้งานกันในอุตสาหกรรมกระบวนการผลิตจะมีความซับซ้อนเพิ่มขึ้น ทั้งนี้เนื่องมาจากความต้องการทางด้านความปลอดภัยและความเชื่อมั่นในการทำงานของกระบวนการผลิตอย่างต่อเนื่อง รวมไปถึงการพัฒนาทางด้านเทคโนโลยีอย่างรวดเร็วและมีการนำมาใช้ในระบบนิรภัย

จึงจะเห็นได้ว่าในปัจจุบันจะมีรูปแบบเครื่องมือวัดที่มีการทำงานแตกต่างจะรูปแบบเก่า ๆ ดังเช่น ในสมัยก่อนการต่ออุปกรณ์ 2 ตัวสำหรับส่วนอินพุตให้กับฟังก์ชันนิรภัยจะเป็นรูปแบบ 1oo2 (One out off  two voting) หรือ 2oo2 (Two out off two voting)

แต่ในปัจจุบันสามารถจัดรูปแบบการทำงานที่เพิ่มเติมระบบวิเคราะห์ความผิดพลาดเข้าไปในการทำงาน สำหรับการทำงานของรูปแบบ 1oo2D (One out off two voting with diagnostic) หรือ 2oo2D (Two out off Two voting with Diagnostic) ซึ่งในการทำงานรูปแบบใหม่นี้อุปกรณ์แต่ละตัวจะทำหน้าที่เป็นระบบสำรองระหว่างกัน หรือแม้กระทั่งการใช้อุปกรณ์ในรูปแบบ 2oo3 (Two out off Three voting)

ซึ่งถ้าเกิดความผิดพลาดบนตัวอุปกรณ์ระบบนิรภัยก็จะยังคงทำงานได้ทั้งสมรรถนะทางด้านความปลอดภัยและความเชื่อมั่นในการทำงาน การปรับเปลี่ยนรูปแบบไปเหล่านี้หรือการใช้งานในรูปแบบที่ซับซ้อนจึงทำให้ การคำนวณค่า PFD สำหรับในแต่ละส่วนมีความซับซ้อนตามไปด้วย

แต่จะมีวิธีการคำนวณที่มีแบบแผนซึ่งสามารถจะทำการคำนวณค่า PFD สำหรับระบบที่ซับซ้อนได้เป็นอย่างดี นั่นคือการคำนวณแบบ Markov Model จะเป็นวิธีการหนึ่งที่ยินยอมให้มีการเปรียบเทียบกับการคำนวณด้วยวิธีการง่ายที่ผ่านมา และยังสามารถพิจารณาการใช้อุปกรณ์ที่สามารถซ่อมแซมได้เข้าไปในการคำนวณค่า PFD

     Andrei Andreyevich Markov (1856-1922) นักคณิตศาสตร์ชาวรัสเซียได้ศึกษาเรื่องความน่าจะเป็น (Probability) ในขณะที่สอนอยู่ที่มหาวิทยาลัย San Petersburg หลังปี 1800 เขาได้กำหนดขบวนการ Markov (Markov Process) ในการใช้สำหรับกำหนดตัวแปรในอนาคตโดยตัวแปรในปัจจุบันที่เป็นอิสระจากสิ่งที่มีอยู่ก่อน ขบวนการที่ถูกพัฒนาขึ้นผ่านแผนภาพ (Diagram) ที่ถูกใช้สำหรับคำนวณความเชื่อมั่น (Reliability) ของรูปแบบที่ซับซ้อน เมื่อวิธีการ Block Diagram ไม่สามารถทำได้

      แผนภาพ Markov เป็นแผนภาพที่แสดงการทำงานของระบบกับการเปลี่ยนเวลาที่ไม่ต่อเนื่อง วิธีการนี้มีความเหมาะสมในการนำไปใช้กับขบวนการที่ซ่อมแซมได้และซ่อมแซมไม่ได้ เมื่อเป็นวิธีการรวมกันของความผิดพลาดที่สร้างสถานะ (State) ของระบบที่ไม่ต่อเนื่อง นอกจากนั้นขบวนการซ่อมแซมหรือผิดพลาดที่เคลื่อนที่ระหว่างสถานะที่ไม่ต่อเนื่อง เป็นไปตามผลลัพธ์ของสถานะปัจจุบันและความผิดพลาดที่เกิดขึ้น

       ขอบเขตของวิธีการ Markov Model เป็นการกำหนดความน่าจะเป็นของผลลัพธ์ระบบที่จะทำงานในสถานะต่าง ๆ ที่แน่นอน ที่เวลา t + 1 จะเรียกว่าความน่าจะเป็นที่เวลา t และอัตราการเคลื่อนที่ระหว่างสถานะ

 แผนภาพแสดงรายละเอียดของระบบโดยการใช้สัญลักษณ์ 2 แบบดังนี้
- สถานะ ถูกแสดงด้วยรูปวงกลม
- เส้นโค้งการเคลื่อนที่ ถูกแสดงด้วยลูกศร

     Markov Model เป็นเทคนิคการคำนวณทางด้านความเชื่อมั่นและทางด้านนิรภัยที่ใช้ State Diagrams ซึ่งเป็นแผนภาพที่ใช้แสดงการทำงานของระบบด้วยแผนภาพที่มีสัญลักษณ์ง่าย ๆ ดังแสดงในรูปที่ 3

รูปที่ 3 สัญลักษณ์แผนภาพ Markov Model

    จากรูปจะเป็นแผนภาพ Markov Model เบื้องต้นที่ใช้สัญลักษณ์วงกลมแทนสถานะการทำงานของระบบที่พิจารณาว่าอยู่ในสถานะใด โดยสามารถกำหนดสถานะต่าง ๆ ให้เหมาะสมกับการทำงานของรูปแบบที่เลือกใช้งาน เช่น สถานะปกติหรือสถานะเกิดความผิดพลาดขึ้น สำหรับสัญลักษณ์ส่วนเส้นโค้งแทนการเคลื่อนที่ระหว่างสถานะต่างๆ ที่มีสาเหตุมาจากการเกิดความผิดพลาดหรือหลังจากการซ่อมแซม ผลลัพธ์ของ Markov Model สามารถคำนวณค่า PFD ได้โดยตรงจากการเปรียบเทียบเมตริกที่แตกต่างกัน ซึ่งจะแสดงรายละเอียดและตัวอย่างในหัวข้อต่อไป

อุปกรณ์ซ่อมแซมไม่ได้ (Non-repairable Device)
  สำหรับอุปกรณ์ตัวเดียวแบบซ่อมแซมไม่ได้ สามารถเขียนแผนภาพ Markov Model ได้ดังรูปที่ 4

รูปที่ 4 แผนภาพ Markov Model ของอุปกรณ์ตัวเดียวแบบซ่อมแซมไม่ได้
     

    สถานะเป็นเครื่องหมายเริ่มต้นจาก “0” และบางครั้งจะเกี่ยวข้องกับการสรุปรายละเอียด ขณะที่เส้นโค้งลูกศรเกี่ยวข้องกับสมการ (Formula) หรือค่าอัตราต่าง ๆ ค่าความน่าจะเป็นของระบบในการเปลี่ยนสถานะถูกแสดงในรูปลูกศรที่เชื่อมระหว่างกัน จากรูปที่ 4 มีรายละเอียดของระบบเป็นดังนี้
- ในระบบจะมี 2 สถานะ, P0 แสดงสถานะปกติ และ P1 แสดงสถานะความผิดพลาด
- ความน่าจะเป็นของการเคลื่อนที่จาก P0 ไปยัง P1 ด้วยอัตราการผิดพลาดเท่ากับ 

  แต่ละสถานะแสดงความน่าจะเป็นของตนเองด้วย P0 และ P1สำหรับตัวอย่างที่ระยะเวลาหนึ่งชั่วโมง และสมมุติฐานว่ามีค่า  = 0.1 ต่อชั่วโมง ระบบเริ่มต้นจากสถานะ P0 (ok) และ P0 = 1, P1=0 หลังจากเวลาหนึ่งชั่วโมงผ่านไป แผนภาพมีวงรอบสมบูรณ์และเปอร์เซ็นต์  ของความน่าจะเป็นของสถานะ P0 มีการรวมกับความน่าจะเป็นของสถานะ 1 เป็นดังนี้

  สำหรับค่าความน่าจะเป็นของแต่ละสถานะสามารถแสดงในตารางที่ 1 จะแสดงวิวัฒนาการของระบบในช่วง 10 วงรอบ

     
ตารางที่ 1 ความน่าจะเป็นในแต่ละสถานะ
     
    

     ขณะที่แผนภาพแสดงค่าความน่าจะเป็นทั้งสองสถานะหลังจากจำนวนรอบทั้งหมด ทำได้โดยการทำขบวนการซ้ำ ๆ จนถึงเวลาไม่สิ้นสุด (Infinity) จะได้ความน่าจะเป็นของระบบในสถานะ P0 จะมีค่าไปยัง 0 นั่นหมายความว่าที่เวลาเริ่มต้น ระบบจะมีความเชื่อมั่นในการทำงานมีค่าเท่ากับ 1 แต่เมื่อระยะเวลาการใช้งานผ่านไปก็จะทำให้ความเชื่อมั่นในการทำงานของระบบลดลงไปเรื่อย ๆ จนถึงเวลาที่ไม่สิ้นสุดก็จะทำให้ระบบหยุดทำงานหรือมีค่าความเชื่อมั่นในการทำงานเท่ากับ 0

   ในขณะที่ความน่าจะเป็นในสถานะ P1 จะมีค่าไปยัง 1 นั่นหมายความว่าที่เวลาเริ่มต้นระบบจะมีค่าความผิดพลาดในการทำงานมีค่าเท่ากับ 0 แต่เมื่อระยะเวลาการใช้งานผ่านไปก็จะทำให้ค่าความผิดพลาดในการทำงานของระบบเพิ่มขึ้นไปเรื่อย ๆ จนถึงเวลาที่ไม่สิ้นสุดก็จะทำให้ระบบมีค่าความความผิดพลาดในการทำงานเท่ากับ 1 แสดงได้ดังรูปที่ 5    

รูปที่ 5 แผนภาพความน่าจะเป็นของแต่ละสถานะในเวลาที่ไม่สิ้นสุด

อุปกรณ์ซ่อมแซมได้ (Repairable Device)

   จากที่ได้กล่าวไปแล้วว่าการทำงานของรูปแบบที่กำหนดให้อุปกรณ์สามารถซ่อมแซมเพื่อกลับมาทำงานได้ตามปกตินั้น การทำแผนภาพ Markov Model ของอุปกรณ์ที่ซ่อมแซมได้จึงเป็นเรื่องที่ซับซ้อนและมีแนวโน้มที่จะเกิดความผิดพลาดได้ง่าย อย่างไรก็ตามในการทำแผนภาพนั้น การสมมุติฐานต่าง ๆ สามารถถูกจัดทำขึ้นได้ ซึ่งทำให้การวิเคราะห์ง่ายขึ้น โดยไม่มีผลกระทบกับผลลัพธ์ที่ได้

แต่ต้องมีความเข้าใจถึงข้อจำกัดของสมมุติฐานเหล่านี้และเพื่อเป็นการทำให้แผนภาพง่ายขึ้น ในการทำแผนภาพขั้นตอนการซ่อมแซมเป็นเรื่องยากเพราะว่าขั้นตอนการซ่อมแซมให้อุปกรณ์กลับมาใช้งานได้จะเป็นความแตกต่างกันกับขั้นตอนที่จะเกิดผิดพลาดขึ้นบนอุปกรณ์

ทฤษฏีเป็นข้อเท็จจริงที่ว่า ความผิดพลาดแบบสุ่มเนื่องมาจากกระบวนการสังเกตแบบสุ่มตัวอย่าง ส่วนขั้นตอนการซ่อมแซม จะเป็นลักษณะแน่นอน แต่จะมีลักษณะอื่นของขั้นตอนการซ่อมแซมก็จะเป็นวิธีการสถิติของการสังเกตแบบสุ่มตัวอย่างเช่นเดียวกัน อย่างไรก็ตามสามารถประเมินขั้นตอนการซ่อมแซมให้มีความถูกต้องด้วยแผนภาพ Markov Model มากกว่าการใช้เทคนิคอื่น ๆ สำหรับแผนภาพ Markov Model ของอุปกรณ์หนึ่งตัวที่ซ่อมแซมได้ แสดงได้ดังรูปที่ 6

รูปที่ 6 แผนภาพ Markov Model ของอุปกรณ์ตัวเดียวแบบซ่อมแซมได้
    

   จากการสมมุติฐานที่ว่าความผิดพลาดที่เกิดขึ้นบนตัวอุปกรณ์จะถูกระบบวิเคราะห์ตรวจจับอย่างทันทีทันใดเมื่อเกิดขึ้นและส่งสัญญาณเตือนไปยังช่างเทคนิค ซึ่งสามารถทำการซ่อมแซมให้กลับมาใช้งานได้ตามปกติ ทำให้ระบบมี 2 สถานะและการเคลื่อนที่ 2 ทิศทางดังแสดงในรูปที่ 6

ในระบบมีความเป็นไปได้ของการเคลื่อนที่เป็น 2 ทิศทางจาก P0 ไปยัง P1 ด้วยอัตราความผิดพลาด และจาก P1 ไปยัง P0 ด้วยอัตราการซ่อมแซม 

  โดยทั่วไปแล้วค่าอัตราเฉลี่ยเวลาการซ่อมแซมจะมีค่ามากกว่าอัตราเฉลี่ยความผิดพลาดของอุปกรณ์ ดังเช่นอัตราเฉลี่ยความผิดพลาดของอุปกรณ์จะเป็น 0.05 ครั้งต่อปี แต่อัตราเฉลี่ยการซ่อมแซมจะมีค่าประมาณ 4-8 ชั่วโมง ดังนั้น P1 = / ก็จะมีค่าเหมือนกับ MTTR/MTBF เมื่อ MTTR เป็นเวลาในการซ่อมแซมและ MTBF เป็นเวลาระหว่างความผิดพลาดสำหรับอุปกรณ์

 ระบบเริ่มต้นจากสถานะ P0 (ok) และ P0 = 1, P1 = 0 หลังจากหนึ่งชั่วโมงผ่านไป ระบบจะครบวงรอบอย่างสมบูรณ์และความน่าจะเป็นของแต่ละสถานะเป็นดังนี้

     ในแต่ละวงรอบเปอร์เซ็นต์  ของความน่าจะเป็น P0 ถูกเคลื่อนที่ไปยัง P1 และเปอร์เซ็นต์  ของความน่าจะเป็น P1 ถูกเคลื่อนที่ไปยัง P0 ตารางในรูปที่ 8 แสดงวิวัฒนาการของระบบใน 10 ช่วงเวลา สมมุติฐานในช่วงเวลาหนึ่งชั่วโมงมีค่า  = 0.1 ต่อชั่วโมง,  =0.3 ต่อชั่วโมง

ตารางที่ 2 ความน่าจะเป็นในแต่ละสถานะ

     

    ขณะที่แผนภาพแสดงค่าความน่าจะเป็นทั้งสองสถานะหลังจากจำนวนรอบทั้งหมด ทำได้โดยการทำขบวนการซ้ำ ๆ จนถึงเวลาไม่สิ้นสุด (Infinity) จะได้ความน่าจะเป็นของระบบในสถานะ P0 จะมีค่าไปยัง 0.75 ขณะที่ความน่าจะเป็นในสถานะ P1 จะมีค่าไปยัง 0.25 แสดงได้ดังรูปที่ 7

รูปที่ 7 แผนภาพความน่าจะเป็นของแต่ละสถานะในเวลาที่ไม่สิ้นสุด

ระบบที่มีอุปกรณ์สำรอง (Redundant System)

     สำหรับ Markov Model ของระบบที่มีการจัดเตรียมระบบสำรองด้วยอุปกรณ์สำรองที่แตกต่างกัน โดยระบบจะมีระบบย่อย 2 ระบบประกอบร่วมอยู่ในระบบใหญ่ โดยในการทำงานสภาวะปกติ ระบบสามารถทำงานได้ด้วยระบบย่อยเพียงชุดเดียวจะทำให้ระบบทำงานได้อย่างสมบูรณ์ ถ้าสมมุติฐานให้ความผิดพลาดต่าง ๆ ที่สามารถตรวจจับได้และอัตราการซ่อมแซมมีค่าคงที่ ถ้าระบบย่อยทั้งสองในระบบสำรองมีความเหมือนกัน จะแสดงแผนภาพ Markov Model ได้ดังรูปที่ 8

รูปที่ 8 แผนภาพ Markov Model ของระบบสำรองที่มีความเหมือนกัน

     จากแผนภาพ จะเห็นได้ว่าการทำงานของระบบแบบนี้จะแบ่งการทำงานออกได้เป็น 4 สถานะ 
- สถานะแรกจะแสดงสถานะของระบบปกติโดยระบบสามารถทำงานได้อย่างปกติเมื่อระบบย่อย A หรือ B ไม่มีความผิดพลาดใด ๆ 

- สถานะที่สองแสดงสถานะของระบบปกติ โดยระบบสามารถทำงานได้อย่างปกติ ถึงแม้ว่าจะเกิดความผิดพลาดใดๆบนระบบย่อย A ระบบหลักก็ยังคงสามารถทำงานได้ โดยไม่หยุดทำงาน และถ้าความผิดพลาดถูกตรวจจับได้และส่งสัญญาณเตือนไปยังช่างเทคนิคให้ดำเนินการซ่อมแซมระบบ A ก็จะทำให้ระบบหลักกลับมาทำงานเหมือนกับในสภาวะเริ่มต้น

 แต่ถ้าความผิดพลาดไม่สามารถถูกตรวจจับได้ด้วยระบบวิเคราะห์ความผิดพลาดหรือยังไม่ถึงเวลาการทดสอบการทำงานก็จะทำให้ไม่สามารถรู้ถึงความผิดพลาดที่เกิดขึ้นได้ ดังนั้นเมื่อเกิดความผิดพลาดขึ้นมาอีกครั้งในระบบย่อยที่เหลือก็จะทำให้ระบบหลักหยุดทำงานทันที

- สถานะที่สามจะมีการทำงานเหมือนกับสถานะที่สอง

- สถานะที่สี่จะแสดงสถานะของระบบหยุดทำงานเนื่องจากความผิดพลาดที่เกิดขึ้นทั้งระบบย่อย A และระบบย่อย B แต่เมื่อทำการซ่อมแซมระบบย่อยทั้งสอง ระบบหลักก็จะกลับไปทำงานตามปกติ

     การทำงานของระบบที่มีระบบสำรองการคำนวณอัตราส่วนความน่าจะเป็นของระบบที่จะไปยังสถานะต่าง ๆ ด้วยมือนั้นจะมีความซับซ้อนมากและอาจเกิดความผิดพลาดได้สูงมากกว่าการจัดเตรียมการคำนวณด้วยโปรแกรมคอมพิวเตอร์เนื่องจากระบบมีความซับซ้อน

เอกสารอ้างอิง
[1] ISA TR84.00.02-2002 Part 4: Determining the SIL of a SIF via Markov Analysis
[2] IEC 61511, Functional safety-safety instrumented system for the process industry sector
[3] William M. Goble and Harry Cheddie,” Safety Instrumented System Verification Practical Probabilistic Calculations”, ISA-The Instrumentation, Systems and Automation Society
[4] ทวิช ชูเมือง, ระบบวัดคุมนิรภัยในอุตสาหกรรมกระบวนการผลิต, ISBN 974-212-172-9, บริษัท ซีเอ็ดยูเคชั่น จำกัด (มหาชน), 2548.