สมหวัง อริสริยวงศ์
ภาควิชาวิศวกรรมเครื่องกล คณะวิศวกรรมศาสตร์
มหาวิทยาลัยศรีนครินทรวิโรฒ องครักษ์

 
          โรงงานอุตสาหกรรมโดยทั่วไปในปัจจุบันจะต้องมีระบบควบคุมอัตโนมัติเป็นส่วนหนึ่งในกระบวนการผลิต เช่นระบบควบคุมอุณหภูมิ ระบบควบคุมความดัน หรือระบบควบคุมระดับของเหลว เป็นต้น ระบบควบคุมอัตโนมัติโดยทั่วไปจะมีส่วนประกอบดังรูปที่ 1

รูปที่ 1 แสดงส่วนประกอบของระบบควบคุมอัตโนมัติ

          จากรูปที่ 1 ระบบควบคุมจะเริ่มพิจารณาจากเอาต์พุตของกระบวนการซึ่งอาจจะเป็นอุณหภูมิ หรือความดัน เป็นต้น เอาต์พุตจะถูกวัดและแปลงสัญญาณโดยอุปกรณ์แปลงสัญญาณเพื่อแปลงปริมาณทางกายภาพที่วัดได้ไปเป็นปริมาณที่ต้องการ เช่น ปริมาณทางไฟฟ้า จากนั้นค่าที่วัดได้จะถูกนำไปเปรียบเทียบกับค่าอินพุตที่ตั้งไว้ ค่าผิดพลาดที่เกิดขึ้นจะถูกส่งไปให้ตัวควบคุมเพื่อสร้างสัญญาณควบคุมไปควบคุมกระบวนการต่อไป ขั้นตอนทั้งหมดนี้จะทำซ้ำไปเรื่อย ๆ จนกระทั่งค่าอินพุตกับค่าที่วัดได้มีขนาดเท่ากัน หรือใกล้เคียงกัน

          ส่วนประกอบหนึ่งที่ถือว่าเป็นหัวใจสำคัญของระบบควบคุมอัตโนมัติ คือ ตัวควบคุม (Controller) ซึ่งก็มีมากมายหลายชนิดให้เลือกใช้งาน แต่ตัวควบคุมที่ยังคงได้รับความนิยมอย่างสูงนับจากอดีตจนถึงปัจจุบันก็คือตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี (PID Controller) สาเหตุที่ทำให้ตัวควบคุมชนิดนี้เป็นที่นิยมใช้ก็เนื่องจากความเรียบง่ายของโครงสร้างตัวควบคุม และความสามารถในการลดค่าความผิดพลาดได้หลายชนิดในตัวควบคุมเดียว

          ปัญหาของการใช้งานตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ก็คือค่าเกนของตัวควบคุมซึ่งมีอยู่ด้วยกันถึง 3 ตัวคือ ,   และ    ควรจะมีค่าเป็นเท่าใดจึงจะเหมาะสมกับกระบวนการนั้น ๆ ในทางทฤษฎีแล้วค่าเกนเหล่านี้จะสามารถหาได้อย่างถูกต้องถ้าทราบแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการ แต่ในทางปฏิบัติการหาแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการในอุตสาหกรรมไม่ใช่เรื่องง่าย อีกทั้งยังมีค่าใช้จ่ายสูง เนื่องจากตัวแปรต่าง ๆ ในกระบวนการมีการเปลี่ยนแปลงตลอดเวลา และ เซนเซอร์ที่จะต้องนำมาวัดตัวแปรต่าง ๆ ก็มีราคาแพง

          จากปัญหาดังกล่าวข้างต้นจึงเป็นที่มาของบทความนี้ซึ่งจะกล่าวถึงวิธีการปรับค่าเกนตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ในกรณีที่ไม่ทราบแบบจำลองทางคณิตศาสตร์ของกระบวนการ โดยจะใช้วิธีการปรับค่าเกนตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ของซีเกลอร์-นิโคลส์ (Ziegler-Nichols) ร่วมกับ ตารางแสดงผลกระทบของค่าเกนในตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ต่อการตอบสนองของระบบ ก่อนจะกล่าวถึงวิธีการปรับค่าเกนของตัวควบคุมเพื่อไม่ให้ผู้อ่านตกพื้นฐานผู้เขียนจะอธิบายถึงผลการตอบสนองของระบบ และ นิยามของตัวแปรต่าง ๆ ในการตอบสนองของระบบเสียก่อน

ผลการตอบสนองของระบบ 
          กระบวนการ หรือ ระบบ เมื่อได้รับอินพุตก็จะต้องมีการตอบสนองออกมาเป็นเอาต์พุต ซึ่งรูปแบบการตอบสนองนั้นก็จะขึ้นอยู่กับชนิดของอินพุตที่ใส่เข้าไป ในการนิยามตัวแปรต่าง ๆ ในการตอบสนองของระบบ เรามักจะนิยมป้อนอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้น แล้วดูผลการตอบสนองของระบบ ดังรูปที่ 2

รูปที่ 2 แสดงการป้อนอินพุตเพื่อดูผลการตอบสนองของระบบ

ระบบพลศาสตร์โดยทั่วไปเมื่อได้รับอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้นก็จะมีการตอบสนองเป็นดังรูปที่ 3

รูปที่ 3 แสดงพารามิเตอร์ต่าง ๆ ที่ใช้กำหนดคุณสมบัติเฉพาะของการตอบสนองของระบบ

จากรูปที่ 3 พารามิเตอร์ต่าง ๆ สามารถอธิบายความหมายได้ดังนี้
          1. ช่วงเวลาขึ้น (Rise Time, Tr) หมายถึง ช่วงเวลาที่ผลตอบสนองเมื่อสัญญาณเอาต์พุตเพิ่มจาก 10% จนถึง 90 % หรือจาก 5% ถึง 95% หรือจาก 0% ถึง 100% ดังนั้นการกำหนดช่วงเวลาขึ้น จำเป็นต้องบอกด้วยว่าวัดโดยใช้ช่วงเวลาไหน

          2. เวลาของค่ายอด (Peak Time, Tp) หมายถึง เวลาที่สัญญาณผลการตอบสนองมีค่าสูงสุดค่าแรกของผลการตอบสนองนั้น ๆ

          3. โอเวอร์ชูตสูงสุด (Maximum overshoot, Mp) หมายถึง ค่าการตอบสนองสูงสุดที่วัดจากสถานะอยู่ตัวสุดท้าย (Final Steady State) การบอกค่าโอเวอร์ชูตสูงสุดมักจะบอกเป็นเปอร์เซ็นต์

          4. เวลาเข้าที่ (Settling Time, Ts) หมายถึง เวลาที่ผลการตอบสนองลดลงจนเริ่มเข้าไปอยู่ในช่วงที่กำหนด ซึ่งจะวัดเทียบกับค่าสุดท้ายของผลการตอบสนองในสถานะอยู่ตัวสุดท้าย (Final Steady State) ค่าที่นิยมกำหนดสำหรับช่วงนี้มักจะบอกเป็นเปอร์เซ็นต์ เช่น 1%, 2% หรือ 5% เป็นต้น

          จากนิยามของพารามิเตอร์ต่าง ๆ ที่กำหนดขึ้น เราจะใช้พารามิเตอร์เหล่านี้เป็นตัวพิจารณาการปรับค่าเกนต่าง ๆ ของตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ดังจะได้กล่าวในหัวข้อถัดไป

ตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี 
          ดังที่ได้กล่าวไว้ข้างต้นแล้วว่าตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี นั้นเป็นตัวควบคุมที่ยังคงได้รับความนิยมอย่างสูงนับจากอดีตจนถึงปัจจุบัน เนื่องจากความเรียบง่ายของโครงสร้างตัวควบคุม และ ความสามารถในการลดค่าความผิดพลาดได้หลายชนิดในตัวควบคุมเดียว สมการของตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี สามารถเขียนได้ดังสมการที่ 1

โดยที่   คือ ค่าความผิดพลาด

          จากสมการที่ 1 จะพบว่าตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี จะประกอบไปด้วยค่าเกน 3 ตัวคือ  ,   และ   โดยที่ค่าเกน    จะทำหน้าที่ควบคุมค่าความผิดพลาด ณ เวลาปัจจุบัน ค่าเกน    จะทำหน้าที่ควบคุมการสะสมของค่าความผิดพลาด และ ค่าเกน   จะทำหน้าที่ควบคุมอัตราการเปลี่ยนแปลงของค่าความผิดพลาด

ส่วนรูปร่างหน้าตาของตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ที่ใช้กันในอุตสาหกรรมจะแสดงในรูปที่ 4 และ 5

รูปที่ 4 แสดงการ์ดควบคุมแบบ พี ไอ ดี ของบริษัท AMO GmbH

รูปที่ 5 แสดงตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ของบริษัท Watlow Electric Manufacturing Company

ตารางที่ 1 แสดงถึงผลกระทบของค่าเกนในตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ต่อพารามิเตอร์ต่าง ๆ ที่ใช้กำหนดคุณสมบัติเฉพาะของการตอบสนองของระบบ

ตารางที่ 1 ผลกระทบของค่าเกนในตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ต่อการตอบสนองของระบบ

จากตารางที่ 1 จะเห็นได้ว่าค่าเกน   จะทำให้ช่วงเวลาขึ้น (Rise time) ลดลง และ ลดค่าความผิดพลาด ณ สถานะคงตัว แต่ไม่สามารถกำจัดค่าความผิดพลาด ณ สถานะคงตัวให้หมดได้ ค่าเกน   จะมีหน้าที่หลักในการลดค่าความผิดพลาด ณ สถานะคงตัวให้หมดไป แต่การเพิ่มค่าเกน   มากเกินไปก็จะทำให้ผลการตอบสนองชั่วครู่ของระบบเสียไปได้ ส่วนค่าเกน    มีหน้าที่หลักในการลดโอเวอร์ชูตสูงสุดลง และ ทำให้ผลการตอบสนองชั่วครู่ของระบบดีขึ้น

วิธีการของซีเกลอร์-นิโคลส์ (Ziegler-Nichols) ในการปรับค่าเกนตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี
ในปี ค.ศ. 1942 ซีเกลอร์และนิโคลส์ได้พัฒนาวิธีการปรับค่าเกนของตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ขึ้นโดยอาศัยการทดลองและวิเคราะห์ผลโดยเปรียบเทียบกับกระบวนการต่าง ๆ ในอุตสาหกรรม และ ใช้เกณฑ์ IAE กับผลการตอบสนองของระบบโดยมีสัญญาณอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้นหนึ่งหน่วย (Unit-step Input)
 
วิธีการของซีเกลอร์-นิโคลส์ที่ใช้ในการปรับค่าเกนตัวควบคุมนี้สามารถทำให้การตอบสนองของระบบเมื่อมีอินพุตเป็นฟังก์ชันขั้นหนึ่งหน่วย มีลักษณะการแกว่งแบบลดลงด้วยอัตราหนึ่งในสี่ ซึ่งหมายความว่าโอเวอร์ชูตที่สองจะน้อยกว่า 25% ของค่าโอเวอร์ชูตตัวแรก การปรับค่าเกนของตัวควบคุมด้วยวิธีการของซีเกลอร์-นิโคลส์มีด้วยกันสองวิธีคือ วิธีการปฏิกิริยาของกระบวนการ (Process Reaction Method) และ วิธีการวัฎจักรท้ายสุด (Ultimate Cycle Method)

วิธีการปฏิกิริยาของกระบวนการ (Process Reaction Method)
การปรับค่าเกนของตัวควบคุมด้วยวิธีการนี้จะใช้ระบบเปิด (Open-loop System) โดยเริ่มจากป้อนอินพุตเป็นฟังก์ชั้นขั้นไปยังกระบวนการดังรูปที่ 6

รูปที่ 6 การปรับค่าเกนของตัวควบคุมด้วยวิธีการปฏิกิริยาของกระบวนการ

หลังจากป้อนอินพุตเป็นฟังก์ชั้นขั้นไปยังกระบวนการแล้วให้ทำการวัดตัวแปรต่าง ๆ จากผลการตอบสนองของกระบวนการดังรูปที่ 7 จากนั้นนำค่าตัวแปรที่ได้ไปคำนวณหาค่าเกนของตัวควบคุมตามตารางที่ 2

รูปที่ 7 ตัวแปรต่าง ๆ ที่ใช้ในคำนวณหาค่าเกนตัวควบคุมด้วยวิธีการปฏิกิริยาของกระบวนการ

จากรูปที่ 7 เส้นสัมผัสกราฟสัญญาณเอาต์พุต (Output Signal) นั้นให้เลือกเส้นสัมผัสกราฟที่มีความชันสูงสุด ดังนั้นความชันของกราฟสูงสุด (R) มีค่าเท่ากับ M/T

ตารางที่ 2 ค่าเกนตัวควบคุมโดยใช้วิธีการปฏิกิริยาของกระบวนการ (Process reaction method)

วิธีการวัฎจักรท้ายสุด (Ultimate Cycle Method)  
          การปรับค่าเกนตัวควบคุมด้วยวิธีการวัฎจักรท้ายสุด เริ่มจากทำให้ระบบและตัวควบคุมเป็นระบบควบคุมแบบป้อนกลับชนิดสัดส่วน (Proportional Control) เพียงอย่างเดียว หรือ ถ้าผู้อ่านใช้ตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี อยู่แล้วในระบบก็ให้ทำการลดค่าเกนตัวควบคุมแบบอินติกรัล (Integral Control) และตัวควบคุมแบบอนุพันธ์ (Derivative Control) ลงให้เหลือน้อยที่สุด ดังรูปที่ 8

รูปที่ 8 การปรับค่าเกนของตัวควบคุมด้วยวิธีการวัฎจักรท้ายสุด

          จากนั้นค่อย ๆ เพิ่มค่าเกนตัวควบคุมแบบสัดส่วน (Proportional Control) ให้มีค่ามากขึ้นเรื่อย ๆ จนกระทั่งระบบเริ่มมีการแกว่ง (Oscillate) ด้วยแอมพลิจูด (Amplitude) คงที่ ดังรูปที่ 9 ณ สภาวะนี้ระบบเริ่มไม่มีความสมดุล (Unstable) นั่นเอง ทำการบันทึกค่าเกนตัวควบคุมแบบสัดส่วนตรงตำแหน่งนี้ไว้ สมมุติให้มีค่าเท่ากับ  ในขณะเดียวกันก็ทำการวัดคาบเวลาการแกว่งไว้ด้วยสมมุติให้มีค่าเป็น   จากค่าของ  และ  เราจะสามารถคำนวณค่าเกนของตัวควบคุมได้จากตารางที่ 3

รูปที่ 9 การวัดคาบเวลาการแกว่งในการปรับค่าเกนตัวคุมด้วยวิธีการวัฎจักรท้ายสุด

ตารางที่ 3 ค่าเกนตัวควบคุมโดยใช้วิธีการวัฎจักรท้ายสุด

สมการตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ที่ใช้กับวิธีการของซีเกลอร์-นิโคลส์ (Ziegler-Nichols) 
          สมการตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ที่จะใช้กับวิธีการของซีเกลอร์-นิโคลส์ (Ziegler-Nichols) หรือ การนำค่าเกนของตัวควบคุมตามตารางที่ 2 และ 3 ไปใช้งานนั้นจะต้องอ้างอิงกับสมการที่ 2 ซึ่งมีความแตกต่างจากสมการที่ 1 เล็กน้อยดังนี้

 โดยที่   คือ ค่าความผิดพลาด

หรือเมื่อเทียบกับสมการของตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ในสมการที่ 1 ซึ่งนำมาเขียนใหม่ได้ดังสมการที่ 3

เมื่อเปรียบเทียบสมการที่ 2 และ 3 จะได้ว่า

          ถึงตรงนี้ผู้อ่านคงจะเข้าใจรายละเอียดเกี่ยวกับตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี พอสมควร และทราบถึงผลกระทบของค่าเกนในตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ต่อการตอบสนองของระบบ จากตารางที่ 1 รวมถึงวิธีการของซีเกลอร์-นิโคลส์ (Ziegler-Nichols) ในการปรับค่าเกนตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี

ในตอนต่อไปจะได้กล่าวถึงตัวอย่างการปรับค่าเกนตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี โดยจะใช้วิธีการปรับค่าเกนตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ของซีเกลอร์-นิโคลส์ (Ziegler-Nichols) ร่วมกับ ตารางแสดงผลกระทบของค่าเกนในตัวควบคุมแบบ พี ไอ ดี ต่อการตอบสนองของระบบ